Sistemas de representación.

Un circuito digital trabaja con números y sólo con números. El esquema general de estos circuitos se puede ver en la figura 1. Antes de entrar en la comprensión y diseño de estos circuitos, hay que estudiar cómo se pueden representar esos números, de manera que el circuito los entienda.

Figura 1. Diagrama de un circuito digital genérico.

Veremos que existen muchísimas formas de representar el mismo número (de hecho, existen infinitas formas), pero sólo unas pocas son las que nos interesarán para los circuitos digitales.

CONCEPTOS.
El concepto de número todos lo tenemos, pero un mismo número se puede representar de muchas maneras. Por ejemplo, el número 10, lo representamos mediante dos dígitos, el ’1’ y el ’0’. Si utilizásemos numeración romana, este mismo número lo representaríamos sólo con un único dígito ’X’. Pero está claro que ambas representaciones, “10” y “X” hacen referencia al mismo número diez.

Nosotros estamos acostumbrados a representar los números utilizando diez dígitos: ’0’, ’1’, ’2’, ’3’, ’4’, ’5’, ’6’, ’7’, ’8’, ’9’. Por eso nuestro sistema de representación se denomina Sistema decimal o sistema en base diez.

Analicemos con un poco más de detalle el sistema decimal, que es el que manejamos habitualmente. Vamos a representar el número "tres mil doscientos ochenta y uno":

3281

Observamos lo siguiente:

1. Está constituido por cuatro dígitos: ’3’,’2’,’8’ y ’1’.
2. El orden en el que están colocados es muy importante y si se modifica, se está representando otro número.
3. Cuanto más a la izquierda está un dígito, más importante es.

Este último punto es muy intuitivo. Imaginemos que el número 3281 representa el sueldo mensual de un ingeniero. Si le preguntamos qué dígito es el que le gustaría modificar para tener un sueldo mayor, no dudaría en señalar al ’3’. “¡¡Ojalá me subieran en sueldo a 4281 euros!!” pensaría el ingeniero. Sin embargo, se echaría a reir si su jefe le dijese: “te subimos el sueldo a 3285 euros”.

El dígito ’3’ es más importante que todos los que tiene a su derecha. Tiene un peso mayor que el resto de dígitos. De hecho, este dígito ’3’ está representando al número tres mil. El dígito ’2’ por estar en tercera posición comenzado desde la derecha, representa el número doscientos, el ’8’ al ochenta y el ’1’ al uno. Podemos descomponer el número de la siguiente manera:

3281 = 3000 + 200 + 80 + 1
= 3*1000 + 2*100 + 8*10 + 1 =
3*10³ + 2*10² + 8*10¹ + 1*10⁰

Observamos que cada dígito está multiplicando una pontencia de 10. Cuanto más a la izquierda se sitúe el dígito, mayor será la pontencia de diez por la que se multiplica.

En la figura 2 se muestra el número 3281 descompuesto en dígitos y pesos, y se indica cuál es el dígito de mayor peso y cuál es el de menor.

Figura 2. Dígitos y pesos del número 3281.

Este sistema de representación también se llama sistema en base diez porque los pesos de los dígitos son potencias de 10: El dígito de más de la derecha tiene un peso de 10⁰, los siguientes tienen pesos de 10¹ , 10² , 10³, 10⁴ ...

Nosotros representamos los números en el sistema decimal, que consta de diez dígitos diferentes, asignándoles un peso que es una potencia de diez, y que será mayor cuanto más a la izquierda se encuentre el dígito.

¿Qué nos impide que utilicemos unos sistemas de representación en los que los pesos de
los dígitos, o incluso los dígitos sean diferentes de los del sistema decimal? Nada. Por ejemplo, podemos emplear un sistema de representación octal (Base 8), que utiliza sólo ocho dígitos (0,1,2...7) para representar cualquier número y los pesos de los diferentes dígitos serán potencias de 8. En este sistema, si escribimos los dígitos 352 no se corresponden con el número “trescientos cincuenta y dos” . Para calcular cuál es el número que representa hay que multiplicar cada dígito por su correspondiente peso, obteniendo el número equivalente en el sistema decimal.

352 = 3*8² + 5*8¹ + 2*8⁰ =
3*64 + 5*8 + 2 = 248

El número 352 en representación octal es equivalente al número 248 del sistema decimal. En el sistema octal, los dígitos tienen pesos que son potencias de 8, en lugar de potencias de 10 como en el sistema decimal. Para evitar confusiones cuando se trabaja con sistemas de representación diferentes, se emplea la siguiente notación:

352₈ = 248₁₀

El subíndice 8 indica que el número está representado en un sistema octal y con el subíndice 10 se indica que lo está en un sistema decimal.